Et oui, je vais vous parler des règles de priorité des opérations mathématiques. Qu’est ce que ça vient faire ici ? Et bien ça part d’un autre type de question à laquelle je ne réagis pas d’habitude : un super problème Facebook auquel seule 1 personne sur 10 sait répondre !!! Mais là, le problème a entrainé un post sur le Huffington Post. Bon, en fait, ils ont surtout commenté un article du New York Times. L’équation de l’impossible, c’est :

8 \div 2 (2 + 2)

En passant, vous pouvez admirer la superbe intégration de LateX dans WordPress 😉

Le résultat est évidemment 16. Mais certains arrivent à 1 et soutiennent mordicus que c’est une réponse possible. D’où vient cette confusion ? Enquête exclusive dans les manuels scolaires !

L’origine du problème

Et bien j’ai appris que chez les anglo-saxons, les enseignants utilisent un moyen mnémotechnique pour enseigne les priorités. En fait, là où ça se complique, c’est qu’il n’y a pas un mais deux acronymes : PEMDAS (principalement aux États-Unis) et BODMAS (Angleterre, Australie, Inde). Le premier signifie Parentheses, Exponents, Multiplication/Division, Addition/Subtraction. Le second, Brackets, Order, Division/Multiplication, Addition/Subtraction. Notez que ces acronyme ne sont pas très mnémotechniques aussi, pour PEMDAS, il existe la phrase Please Excuse My Dear Aunt Sally.

Mais revenons à ces acronymes. Pour certains, ils sont un ordre de priorité absolu. Pour le premier, la multiplication est prioritaire sur la division, pour le second, c’est l’inverse. Ainsi, si vous invoquez les priorités de BODMAS, vous arrivez au résultat de 1. Sauf que ce résultat est faux, et ce n’est pas l’acronyme qui est en cause…

Relisez deux paragraphes plus haut comment j’ai détaillé la signification des deux acronymes. En fait je l’ai recopié de Wikipedia version US qui souligne que ces moyens mnémotechniques peuvent prêter à confusion.

Rappel des règles de priorité.

Oui, commençons par un rappel. Les règles de priorité des opérations mathématiques sont les suivantes, de la plus prioritaire à la moins prioritaire :

  • Les parenthèses
  • Les exposants (carré, cube)
  • Les multiplications et divisions
  • Les additions et soustractions

À priorité égale, les opérations se résolvent par une lecture de gauche à droite.

Vous remarquerez que multiplication et division d’un coté et addition et soustraction de l’autre sont au même niveau. Et pour cause, rappelez vous que :

  • soustraire, c’est additionner par l’opposé
  • diviser, c’est multiplier par l’inverse

Nous avons donc une égalité entre ces deux opérations qui sont… la même :

8 \div 2  = 8 \times \frac{1}{2}

Oui mais PEMDAS et BODMAS ?

Et bien rien du tout… Dans l’explication de l’acronyme, vous avez vu que j’ai écris « Division/Multiplication » et non « Division, Multiplication ». L’acronyme prête à confusion car il cite les opérations dans un certain ordre, mais il n’y en a pas entre la multiplication et la division ni entre l’addition et la soustraction. À priorité égale, on lit de gauche à droite. Donc l’équation initiale

8 \div 2 (2 + 2)

S’écrit en mathématique plus graphique

\frac{8}{2} (2 + 2)

Soit (j’ai rajouté le multiplié car l’opération part en cacahuète)

\frac{8}{2} \times 4

Donc :

4 \times 4 = 16

Bon, alors c’est vrai que on peut décomposer l’opération autrement :

\frac{8}{2} \times 4 = \frac{8}{2} \times \frac{4}{1} = \frac{32}{2} = 16

Mais j’ai respecté la règle de priorité, ce qui m’amène au même résultat, évidemment.

En conclusion, il aurai été plus judicieux de nommer ces acronymes PEMA et BOMA et de se souvenir que la division est la multiplication par l’inverse et la soustraction est l’addition à l’opposé.

À propos de... Darko Stankovski

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